Trouver la forme fractionnaire d’un nombre donné sous forme d'une écriture décimale comportant une suite périodique

 

Exercices

1. Convertissez $0.\bar{6}$ en fraction.
2. Convertissez $0.\bar{3}$ en fraction.
3. Convertissez $0.8\bar{3}$ en fraction.
4. Convertissez $0.1\bar{6}$ en fraction.
5. Convertissez $0.\overline{142857}$ en fraction.

Corrections

Exercice 1

• $0.\bar{6}$
  • Soit $�=0.\bar{6}$.
  • Multipliez les deux côtés de l'équation par 10 : $10�=6.\bar{6}$.
  • Soustrayez $�$ de $10�$ : $9�=6$.
  • Ainsi, $�=\frac{6}{9}$, qui simplifié donne $\frac{2}{3}$.

Exercice 2

• $0.\bar{3}$
  • Soit $�=0.\bar{3}$.
  • Multipliez par 10 : $10�=3.\bar{3}$.
  • Soustrayez $�$ de $10�$ : $9�=3$.
  • Donc, $�=\frac{3}{9}$, simplifié en $\frac{1}{3}$.

Exercice 3

• $0.8\bar{3}$
  • Soit $�=0.8\bar{3}$.
  • Multipliez par 10 : $10�=8.\bar{3}$.
  • Multipliez encore par 10 : $100�=83.\bar{3}$.
  • Soustrayez $10�$ de $100�$ : $90�=75$.
  • Ainsi, $�=\frac{75}{90}$, qui simplifié donne $\frac{5}{6}$.

Exercice 4

• $0.1\bar{6}$
  • Soit $�=0.1\bar{6}$.
  • Multipliez par 10 : $10�=1.\bar{6}$.
  • Multipliez encore par 10 : $100�=16.\bar{6}$.
  • Soustrayez $10�$ de $100�$ : $90�=15$.
  • Donc, $�=\frac{15}{90}$, simplifié en $\frac{1}{6}$.

Exercice 5

• $0.\overline{142857}$
  • Soit $�=0.\overline{142857}$.
  • Multipliez par $10^6$ (car il y a 6 chiffres dans la période) : $1000000�=142857.\overline{142857}$.
  • Soustrayez $�$ de $1000000�$ : $999999�=142857$.
  • Ainsi, $�=\frac{142857}{999999}$, qui ne peut pas être simplifié davantage.

Ces exercices mettent en pratique la méthode de conversion des nombres décimaux périodiques en fractions, en utilisant l'algèbre pour établir et résoudre des équations. C'est un bon moyen d'intégrer à la fois les concepts de fractions et de nombres décimaux dans l'apprentissage des mathématiques